Este tipo de solución mecano-acústica es tan importante y tan cotidiana que probablemente no seamos conscientes. Cualquier soporte con patas de goma, los amortiguadores de nuestro coche, un suelo flotante, un resonador de membrana o una pared de dos hojas funcionan de esta manera. ¿No es algo suficientemente importante como para dedicarle unos minutos?

El esquema básico es el de una masa soportada sobre (o bajo) un fundamento mediante un muelle y un amortiguador, el amortiguador a veces es difícil intuirlo pero siempre está, en el caso de que usemos solo un muelle, la amortiguación vendrá dada por la fricción.

Aplicando una fuerza F sobre m, se transmitirá una fuerza elástica Fe y una fuerza debida a la amortiguación Fr.

im1Ec1

Como Fe=K·x y suponiendo Fr proporcional a la velocidad, en función del desplazamiento x, nos queda la ecuación diferencial:

Ec2

Como vamos a trabajar con fuerzas de excitación de tipo seno, nos interesa a partir de ahora expresarlo en forma compleja:

ec3

ec4

Y dado que en gran parte de las aplicaciones nos interesa comparar la fuerza transmitida al fundamento (Fe+Fr) con la ejercida sobre la masa (F), esta transmisibilidad sigue la fórmula:

Ec5

Donde podemos reordenar la ecuación definiendo la frecuencia de resonancia y el factor de pérdidas:

ec6

ec7

Y podemos representar la transmisibilidad T en función de la frecuencia. Por ejemplo, para una masa de 20 kg, un material elástico de 2 cm con constante elástica de 10^5 N/m2 y un factor de pérdidas de 0,25 obtenemos la gráfica (en dB)

La fiabilidad de estos cálculos es tan buena como lo buenas que sean nuestras suposiciones y para no llegar a soluciones demasiado optimistas, a veces es necesario tener en cuenta que el fundamento no es tan inerte como desearíamos. En el gráfico T masa hemos tenido en cuenta que el fundamento fuese una masa móvil de 200 kg y hemos obtenido un aumento de la frecuencia de resonancia de 25,2 a 26,4 Hz. En el gráfico T rigidez se supuso que el fundamento tiene una constante recuperadora de 10^5 N/m y se observa una pérdida de eficacia a alta frecuencia.

graficos

Como cualquier fundamento va a tener una cierta masa y elasticidad, en cierto grado vamos a sufrir estos dos efectos nocivos sobre lo calculado, sin mencionar que es difícil que solo haya un grado de libertad. Afortunadamente, en ocasiones los cálculos son tan sencillos como estos:

Se desea minimizar la transmisión de vibraciones de un line-array suspendido de 68 kg, para ello planteamos usar 4 muelles con una carga nominal de 50 kg.

Cada uno de ellos sustenta 17 kg, de manera que según el gráfico del fabricante la deflexión estática es de unos 7mm, es fácil deducir que:

ec8

La frecuencia de resonancia es de 6 Hz, 3 octavas por debajo de la frecuencia mínima que emite el array y por tanto, debe haber una transmisión bastante baja. El resultado tras la instalación es:

array